Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

a) Решите уравнение

2 cos2(2x ) − 31,5cos(2x) = − 3.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(− π; π]$ .

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево:

2 √ -- 2cos (2x) − 3 3 cos(2x ) + 3 = 0.

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $cos(2x )$ .

Сделаем замену $cos(2x) = t$ , тогда уравнение примет вид

2 √ -- 2t − 3 3t + 3 = 0.

Его дискриминант $D = 27 − 24 = 3$ , тогда $√ -- √ -- 3 3 ± 3 t1,2 = ----4-----$ , откуда $√ -- t1 = 3$ , $√-- 3 t2 = 2---$ , следовательно,
$√ -- cos(2x ) = 3$ или $√ -- 3 cos(2x) = ---- 2$ .

Так как $cos(2x) ≤ 1$ , то $√ -- cos(2x ) = 3$ быть не может, следовательно, $√ -- cos(2x) = --3- 2$ .

Уравнение $cosy = a$ имеет решения $y = ±arccosa + 2πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно, уравнение $√ -- cos(2x) = --3- 2$ имеет решения, для которых выполнено $2x = ± π-+ 2πk 6$ , где $k ∈ ℤ$ , тогда