Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

a) Решите уравнение

cos(2x ) + 3 √2-sin x = 3

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(π;2π)$ .

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и перенесём всё влево:

2 √-- 2 √ -- 1 − 2sin x + 3 2 sin x − 3 = 0 ⇔ 2sin x − 3 2sinx + 2 = 0.

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $sin x$ .

Сделаем замену $sinx = t$ , тогда уравнение примет вид

2 √ -- 2t − 3 2t + 2 = 0.

Его дискриминант $D = 18 − 16 = 2$ , тогда $√ -- √ -- 3 2 ± 2 t1,2 = ----4-----$ , откуда $√ -- t1 = 2$ , $√-- 2 t2 = 2---$ , следовательно,
$√ -- sin x = 2$ или $√ -- 2 sinx = ---- 2$ .

Так как $sinx ≤ 1$ , то $√ -- sin x = 2$ быть не может, следовательно, $√ -- sin x = --2- 2$ .

Уравнение $sin x = a$ имеет решения $x = arcsina + 2 πk$ , $x = π − arcsina + 2πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно уравнение $√ -- sinx = --2- 2$ имеет решения $x = π-+ 2 πk 4$ , $x = 3π-+ 2πk 4$ , где $k ∈ ℤ$ .

б)

π- 3π- 7π- 3- 7- π < 4 + 2πk < 2π ⇔ 4 < 2πk < 4 ⇔ 8 < k < 8,

но $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку $(π;2π )$ .

π < 3π-+ 2πk < 2π ⇔ π-< 2πk < 5π- ⇔ 1-< k < 5, 4 4 4 8 8

но $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку $(π; 2π)$ .

Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению