Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

( ) ( ) 2 3-π π- sin x − 8 + cos x + 8 − 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(− 2π;2 π).$

а) Сделаем замену: $3π t = x − --- 8$ . Тогда $3 π x = t +--- 8$ , следовательно, $π 4π π x + --= t + ---= t + -- 8 8 2$ .

Следовательно, по формуле приведения $( ) ( ) π- π- cos x + 8 = cos t + 2 = − sin t$ . Тогда уравнение примет вид:

sin2t − sin t − 2 = 0

Сделав еще одну замену $sin t = f$ , получим квадратное уравнение $f 2 − f − 2 = 0$ , корнями которого являются $f = 2$ и $f = − 1$ . Так как $f = sin t ∈ [− 1;1]$ , то корень $f = 2$ не подходит. Следовательно,

( ) sin t = sin x − 3π- = − 1 ⇔ x − 3π-= − π-+ 2πn ⇔ x = − π-+ 2πn, n ∈ ℤ. 8 8 2 8

б) Отберем корни.

$π- 15- 17- π- 15-π − 2 π < − 8 + 2πn < 2π ⇔ − 16 < n < 16 ⇒ n = 0; 1 ⇒ x = − 8; 8 .$