Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение

2 9 −-10-sin-x-−-3-cosx 2 sin x − √ 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 35π- − 20π; − 2$ .

а) ОДЗ: $√ -- sin x ⁄= --3- 2$ . Решим на ОДЗ.

2 2 9 − 10 (1 − cos x) − 3cosx = 0 ⇒ 10 cos x − 3 cosx − 1 = 0

Сделаем замену: $t = cos x, − 1 ≤ t ≤ 1$ :

2 1- 1- 10t − 3t − 1 = 0 ⇒ t1 = 2 ;t2 = − 5

Сделаем обратную замену:

⌊ π- |x = 3 + 2πn, n ∈ ℤ ⌊ 1 | π- | cosx = -- ||x = − 3 + 2πm, m ∈ ℤ ⌈ 2 ⇒ || 1 cosx = − 1- |x = π − arccos --+ 2πk, k ∈ ℤ 5 |⌈ 5 x = − (π − arccos 1) + 2πl,l ∈ ℤ 5

Пересечем данные ответы с ОДЗ: по ОДЗ не подходит только одна серия корней: $π x = --+ 2πn, n ∈ ℤ 3$
(т.к. если $√-- sin x ⁄= -3-⇒ x ⁄= π-+ 2πr; 2π-+ 2 πs,r,s ∈ ℤ 2 3 3$ )

б) Отберем корни:

1) $− 20π ≤ − π-+ 2πm ≤ − 35π-⇒ − 95-≤ m ≤ − 8 7--⇒ m = − 9 ⇒ x = − 55-π 3 2 6 12 3$

2) Т.к. в первой четверти косинус убывает, то $π 1 1 π --> arccos —> arccos —= — 2 5 2 3 » class=»math» width=»auto»>. </p> <p class=$

$1- 35π- 21- -α- 37- α-- − 20 π ≤ π − arccos 5 + 2πk ≤ − 2 ⇒ − 2 + 2 π ≤ k ≤ − 4 + 2π ⇒$

$− 10, ...≤ k ≤ − 9,...⇒ k = − 10 ⇒ x = − 19π − arccos 1- 5$

3) Аналогично второму случаю находим, что из третьей серии корней в промежуток попадает $x = arccos 1-− 19 π 5$