Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение

2 −-3s√inx-−-cos-2x-= 0 2x − π

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 0; 5π- 4$ .

а) ОДЗ: $π x > — 2 » class=»math» width=»auto»>. Решим на ОДЗ: </p> <p class=$

2 − 3sinx − cos 2x = 0 ⇒ 2 − 3sinx − (1 − 2 sin2 x) = 0 ⇒ 2sin2x − 3 sin x + 1 = 0

Сделаем замену: $t = sinx, − 1 ≤ t ≤ 1$ :

1 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇒ t1 = 1;t2 = -- 2

Сделаем обратную замену:

⌊ π ⌊ x = --+ 2πn,n ∈ ℤ sin x = 1 | 2 ⌈ ⇒ || x = π-+ 2πm, m ∈ ℤ sin x = 1- |⌈ 6 2 5π- x = 6 + 2πk,k ∈ ℤ

Пересечем полученные ответы с ОДЗ:

1) $π-+ 2πn > π-⇒ n > 0 ⇒ n ≥ 1, т.к. n − целое,⇒ x = π-+ 2πn, n ∈ ℕ 2 2 1 2 » class=»math» width=»auto»> </p> <p class=$

2) $π π 1 π --+ 2πm > —⇒ m > —⇒ m ≥ 1, т.к. m − целое,⇒ x2 = —+ 2πm, m ∈ ℕ 6 2 6 6 » class=»math» width=»auto»> </p> <p class=$

3) $5π π 1 5π ---+ 2πk > —⇒ k > − —⇒ k ≥ 0 ⇒ x3 = —+ 2πk, k ∈ ℕ ∪ {0} 6 2 3 6 » class=»math» width=»auto»> или <img decoding=$ .

б) Отберем корни:

1) $5π 1 3 0 ≤ x1 ≤ ---⇒ − --≤ n ≤ --⇒ n = 0 4 4 8$ , но т.к. $n$ — натуральное, то $n ∈ ∅$

2) $5π- -1- 13- 0 ≤ x2 ≤ 4 ⇒ − 12 ≤ m ≤ 24 ⇒ m = 0$ , но т.к. $m$ — натуральное, то $m ∈ ∅$ .

3) $0 ≤ x ≤ 5π-⇒ -7- ≤ k ≤ 29- ⇒ k = 1 ⇒ x = 5π- 3 4 12 24 6$