Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №23

Просмотров 5 Комментарии 0

a) Решите уравнение $2sin2x +2 = 5sinx.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π).$

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

2sin2x+ 2− 5sinx= 0

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $sin x.$

Сделаем замену $sinx = t,$ тогда уравнение примет вид

2t2− 5t+ 2= 0

Его дискриминант $D = 25 − 16 =9,$ тогда имеем:

t1,2 = 5±-3 ⇒ t1 = 2, t2 = 0,5 4

Сделав обратную замену, получим

sin x= 2, sin x= 0,5

Так как $sinx≤ 1,$ то уравнение $sinx =2$ не имеет корней. Следовательно, $sinx = 0,5.$

Уравнение $sinx= a$ имеет решения

x= arcsina+ 2πk, x= π − arcsina+ 2πk, k ∈ ℤ

Следовательно, уравнение $sin x= 0,5$ имеет решения

x = π-+2πk, x= 5π + 2πk, k ∈ℤ 6 6

б) Отберем корни с помощью неравенств.

π π 5π 0< 6-+ 2πk < π ⇔ − 6-<2πk < 6- − 1-< k <-5 ⇔ k = 0 12 12

При $k = 0$ получаем $π x= 6.$

5π 5π π- 0 < 6 + 2πk < π ⇔ − 6 < 2πk < 6 5 1 − 12-< k < 12 ⇔ k = 0

При $k = 0$ получаем $5π x= 6-.$

Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению