Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №21

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

√ -- 4 − 3 2 sin x-= 2cos2(0,25x ) 4

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;4π)$ .

а) Заметим, что $1 0, 25x = --x 4$ , следовательно:

( ) √ -- x- 2 x 2 x √-- x- 4 − 3 2 sin 4 − 2 1 − sin 4 = 0 ⇒ 2 sin 4 − 3 2 sin 4 + 2 = 0

Сделаем замену $x sin --= t, − 1 ≤ t ≤ 1 4$ . Тогда уравнение примет вид:

2 √-- -1-- √ -- 2t − 3 2t + 2 = 0 ⇒ t1 = √ --, t2 = 2 2

Заметим, что $t2$ не удовлетворяет условию $− 1 ≤ t ≤ 1$ , то есть не является решением. Сделаем обратную замену:

$⌊ x π --= --+ 2πn, n ∈ ℤ [ x- -1-- | 4 4 x1 = π + 8πn, n ∈ ℤ sin 4 = √ -- ⇒ |⌈ ⇒ 2 x-= 3π-+ 2πm, m ∈ ℤ x2 = 3π + 8πm, m ∈ ℤ 4 4$

б) Отберем корни:

$0 < x1 < 4π ⇒ n = 0 ⇒ x = π$

$0 < x2 < 4π ⇒ m = 0 ⇒ x = 3π$