Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №20

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

ctg2x + ---(-1-----)-− 1 = 0 cos x − 112π

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[π;3π ).$

а) По формуле приведения $( ) cos x − 11π- = − sinx 2$ . Применив также формулу $ctg2x + 1 = --1--- sin2 x$ , получим:

1 1 1 1 ---2--− 1 − -----− 1 = 0 ⇔ ---2--− -----− 2 = 0 sin x sinx sin x sin x

Сделаем замену $1 -----= t sin x$ , тогда уравнение примет вид

2 t − t − 2 = 0 ⇒ t1 = − 1 или t2 = 2

Сделаем обратную замену: $π sinx = − 1 ⇔ x = − --+ 2πn, n ∈ ℤ 2$ $1 π 5π sin x = -- ⇔ x = -- + 2πk; x = ---+ 2πm, k,m ∈ ℤ 2 6 6$ .

б) Отберем корни.

$π 3 7 3π π ≤ − --+ 2πn < 3π ⇔ --≤ n < -- ⇒ n = 1 ⇒ x = --- 2 4 4 2 π ≤ π-+ 2πk < 3π ⇔ 5--≤ k < 17- ⇒ k = 1 ⇒ x = 13π- 6 12 12 6 π ≤ 5π-+ 2πm < 3π ⇔ 1--≤ m < 13- ⇒ m = 1 ⇒ x = 17-π 6 12 12 6$