Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

a) Решите уравнение

sin3 x + (1 + π )sin2x + (π − 2) sin x − 2π = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) π- 3;4π$ .

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно $sinx$ . Сделаем замену

sin x = t.

В новых переменных уравнение примет вид:

3 2 t + (1 + π )t + (π − 2)t − 2π = 0.

Можно угадать один из корней этого уравнения $t = 1$ . Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(t − 1)$ при помощи деления многочлена $t3 + (1 + π )t2 + (π − 2)t − 2π$ на $(t − 1)$ столбиком:

t3 + (1 + π)t2 + (π − 2 )t − 2π | t − 1 3 2 |--2---------------- t-−--------t2 | t + (2 + π )t + 2π (2 + π )t2 + (π − 2)t | (2 +-π-)t-−-(2-+-π)t | 2πt − 2π | 2πt-−-2π- | 0 |

Для дальнейшего разложения на множители необходимо найти корни квадратного уравнения

t2 + (2 + π)t + 2π = 0.

По теореме Виета сумма его корней равна $− (2 + π)$ , а их произведение равно $2π$ , откуда подбираются корни $t1 = − 2, t2 = − π$ .

Таким образом,

t3 + (1 + π )t2 + (π − 2)t − 2 π = (t − 1 )(t + 2)(t + π ).

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, корнями уравнения

t3 + (1 + π)t2 + (π − 2 )t − 2π = 0

являются $t = − 2, t = − π,t = 1 1 2 3$ .

Возвращаясь к старым переменным, находим, что корнями исходного уравнения являются те $x$ , при которых выполнено по крайней мере одно из условий: или $sinx = − 2$ , или $sinx = − π$ , или $sin x = 1$ .