Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №19

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

√ ------- (4 cos23x − 4 sin 3x − 1) ⋅ − ctgx = 0

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $( ] π;2 π . 2$

а) Данное уравнение равносильно системе

( [ |{ 4 cos23x − 4 sin 3x − 1 = 0 |( − ctgx = 0 − ctgx ≥ 0

Решим первое уравнение. Сделаем замену $t = sin 3x$ , тогда уравнение примет вид

2 2 2 2 4 − 4t − 4t − 1 = 0 ⇔ 4t + 4t + 1 = 4 ⇔ (2t + 1) = 2 ⇒ 2t + 1 = ±2.

Следовательно, получаем: 1) $sin 3x = 1- ⇒ x = π--+ 2π-n 2 18 3$ и $x = 5π-+ 2-πk 18 3$ , $k, n ∈ ℤ.$ 2) $sin 3x = − 3- 2$ – не имеет решений.

Решим второе уравнение:

π ctgx = 0 ⇔ x = --+ πm, m ∈ ℤ 2

Пересечем полученные решения с условием $− ctgx ≥ 0 ⇔ ctgx ≤ 0$ .
Для этого отметим полученные корни на окружности, тогда подойдут те, которые находятся на зеленых дугах:

$PIC$

Следовательно, ответ: $π 13π 17π 29π x = --+ πm; ----+ 2 πn; ---- + 2πk; ----+ 2πl; m, n,k, l ∈ ℤ. 2 18 18 18$

б) Отберем корни по окружности. Отметим дугу, соответствующую промежутку $( ] π- 2;2π$ . Тогда в этот промежуток попадают следующие точки:

$PIC$