Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №18

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

3tg42x − 10tg22x + 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − π-; π 4 4$ .

а) ОДЗ: $cos2x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ.

Сделаем замену: $tg22x = t,t ≥ 0$ . Тогда уравнение примет вид:

2 1 3t − 10t + 3 = 0 ⇒ t1 = 3; t2 = 3-

Сделаем обратную замену:

⌊ 2 ⌊ √ -- ⌊ π- ⌊ π- π- tg 2x = 3 tg2x = ± √3- 2x = ± 3 + πn, n ∈ ℤ x = ± 6 + 2n, n ∈ ℤ ⌈ 2 1-⇒ ⌈ 3 ⇒ ⌈ π ⇒ ⌈ π π tg 2x = 3 tg2x = ± ---- 2x = ± --+ πm, m ∈ ℤ x = ± ---+ -m, m ∈ ℤ 3 6 12 2

Заметим, что для данных значений $x$ выполнено ОДЗ, следовательно, это и есть окончательный ответ.

б) Отберем корни:

$π π π π 5 1 π − --< -- + --n1 < --⇒ − --< n1 < --⇒ n1 = 0 ⇒ x = -- 4 6 2 4 6 6 6$

Аналогичным образом находим еще три корня, попадающие в промежуток: $π-- π- -π- x = − 12;− 6 ;12$ .