Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №17

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение $sin2x − 5 cos(x − π)− 6 =0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(−π;3π).$

а) Так как косинус — четная функция, то есть $cos(−x)= cosx,$ то

( π ) (π ) cos x− 2- = cos 2-− x

Кроме того, по формуле приведения имеем:

( ) cos π-− x = sinx 2

Тогда получим уравнение

2 sin x − 5sinx − 6 = 0

Сделав замену $sinx =f,$ получим квадратное уравнение

2 f − 5f − 6= 0

Корнями этого уравнения являются

f = 6, f = −1

Так как $f =sinx∈ [−1;1],$ то корень $f = 6$ не подходит. Следовательно, получаем

sin x= −1 ⇔ x= − π+ 2πk, k ∈ℤ 2

б) Отберем корни с помощью неравенств:

π 1 7 − π < − 2 + 2πk <3π ⇔ −4 < k < 4 π- 3π k = 0; 1 ⇒ x = −2; 2