Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №16

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $√ - 2sin2x + 2sinx − 2= 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(−π;π).$

а) Сделаем замену $sin x= t$ , тогда уравнение примет вид:

2 √- 2t + 2t− 2= 0

Дискриминант уравнения $√- D = 18 =(3 2)2$ . Следовательно, корнями будут

√2 √- t1 = 2-- и t2 =− 2.

Заметим, что так как $t= sinx ∈ [−1;1]$ , то $t2$ не подходит. Следовательно,

√ - sin x= --2 ⇔ x= π+ 2πn и x = 3π +2πm, n,m ∈ ℤ. 2 4 4

б) Отберем корни.

$− π < π+ 2πn < π ⇔ − 5 < n< 3 ⇒ n= 0 ⇒ x = π. 4 8 8 4$

$− π < 3π+ 2πm < π ⇔ − 7< m < 1 ⇒ m = 0 ⇒ x= 3π . 4 8 8 4$