Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №15

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение

√ -- 2 --2- ( π- ) -1-- cos x − 2 cos x = sin 2 − x − √2--

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( ) − π-; π . 2 2$

а) По формуле приведения $( π ) sin --− x = cosx 2$ . Сделаем замену $t = cosx$ :

√ -- ( √ -- ) 2 2 1 2 2 1 t − -2-t = t − √--- ⇔ t − -2--+ 1 t + √--= 0 2 2

Дискриминант уравнения

( √ -- )2 ( √ -)2 ( √ -- )2 2 4 2 √-- 2 D = ---+ 1 − √--= ---- − 2 + 12 = ----− 1 . 2 2 2 2

Следовательно, корнями будут

√- (√ - ) -2-+ 1 ± --2− 1 √ -- t = -2----------2------ ⇒ t1 = --2- и t2 = 1. 2 2

Сделаем обратную замену:

√ -- 2 π cos x = -2-- ⇔ x = ± 4-+ 2πm, m ∈ ℤ cos x = 1 ⇔ x = 2πn,n ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$− π-< π- + 2πm < π- ⇔ − 3-< m < 1- ⇒ m = 0 ⇒ x = π. 2 4 2 8 8 4$

$π π π 1 3 π − --< − --+ 2πm < -- ⇔ − --< m < -- ⇒ m = 0 ⇒ x = − --. 2 4 2 8 8 4$

$π- π- 1- 1- − 2 < 2πn < 2 ⇔ − 4 < n < 4 ⇒ n = 0 ⇒ x = 0.$