Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №14

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $2 ---1---- 2cosx + 4cosx + 2= 1+ ctg2 x.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(−π;0).$

а) ОДЗ: $sinx ⁄=0$ . Решим на ОДЗ.

Т.к. $2 -1--- 1+ ctg x = sin2x ⇒$ уравнение примет вид:

2cos2x+ 4cosx+ 2= --11- ⇒ 2cos2x+ 4cosx+ 2= sin2x ⇒ sin2x

2 cos2x+ 4cosx+ 2= 1 − cos2x⇒ 3cos2x +4cosx +1 = 0

С помощью замены $cosx = t$ данное уравнение сводится к квадратному, корнями которого будут $t =− 1;t= − 1 1 2 3$ . Сделав обратную замену, получим:

⌊ ⌊ cosx = −1 x= −π(+ 2πn,n ∈ ℤ) ⌈ 1 ⇒ |⌈ 1 cosx = −3 x= ± π− arccos3 + 2πm,m ∈ ℤ

Заметим, что первая серия корней не удовлетворяет ОДЗ, т.к. $sin(−π +2πn) =sin(− π)= 0$

б) Отберем корни.

$( 1) 1 − π <± π − arccos3 +2πm < 0 ⇒ x= − π+ arccos3$