Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №13

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

( ) 3 2 3 13π- 3(sin x + 1) + 2 cos 2 + x − 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π]$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле приведения $( ) 13-π cos 2 + x = − sinx$ , следовательно, уравнение примет вид:

3 2 3 3 2 3 3(sin x + 1) + 2(− sin x) − 3 = 0 ⇒ 3(sin x + 1) − 2 sin x − 3 = 0

Сделаем замену: $3 sin x + 1 = t$ , тогда $3 sin x = t − 1$ :

3t2 − 2(t − 1) − 3 = 0 ⇒ 3t2 − 2t − 1 = 0 ⇒ t = 1;t = − 1- 1 2 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ sin3x + 1 = 1 sin3 x = 0 ⌈ 1 ⇒ ⌈ 4 sin3x + 1 = − -- sin3 x = − -- 3 3

Т.к. $− 1 ≤ sinα ≤ 1$ при любом $α$ , следовательно, $3 − 1 ≤ sin α ≤ 1$ , значит, второе уравнение решений не имеет. Следовательно:

sin3 x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

$0 < πn ≤ π ⇒ 0 < n ≤ 1 ⇒ n = 1 ⇒ x = π$ .