Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №12

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

tgx − 2ctgx = 1

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) 5π- π- − 2 ;− 2$ .

а) ОДЗ: $sin x ⁄= 0,cosx ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ.

Заметим, что в данном уравнении $tgx ⁄= 0$ , т.к. тогда $ctgx$ не существует. Поэтому домножим правую и левую части уравнения на $tgx$ :

2 2 tg x − 2ctgx ⋅ tgx − tgx = 0 ⇒ tg x − 2 − tgx = 0,т.к. ctgx ⋅ tgx = 1

Сделаем замену $tgx = t,t ∈ ℝ$ :

t2 − t − 2 = 0 ⇒ t1 = − 1;t2 = 2

Сделаем обратную замену:

[ ⌊ π tgx = − 1 ⌈x1 = − --+ πn, n ∈ ℤ tgx = 2 ⇒ 4 x2 = arctg2 + πm, m ∈ ℤ

Заметим, что данные ответы подходят под ОДЗ.

б) Отберем корни:

1) $5π π 9 1 9π 5π − --- < x1 < − --⇒ − --< n < − --⇒ n = − 2;− 1 ⇒ x = − ---;− --- 4 2 4 4 4 4$

2) Обозначим $arctg2 = α$ .

$− 5π-< x2 < − π-⇒ − 5-− α-< m < − 1-− α- 2 2 2 π 2 π$

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает, то $π π -- > α > — 2 3 » class=»math» width=»auto»>, следовательно, <img decoding=$ , значит:

$5- α- 17- 1- α- 5- − 3 < − 2 − π < − 6 , − 1 < − 2 − π < − 6$ , следовательно, можно условно записать, что

− 2,... < m < − 0,...

Значит, $m = − 2;− 1$ , следовательно, $x = arctg2 − 2π;arctg2 − π$ .