Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №11

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

2cos4x + 6, 5sin2x − 5 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − π-;π 2$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Т.к. $cos4x = (cos2x )2 = (1 − sin2x )2$ , то уравнение равносильно:

2 4 2 4 2 2(1 − 2 sin x + sin x) + 6,5sin x − 5 = 0 ⇒ 2 sin x + 2,5sin x − 3 = 0

Сделаем замену: $2 sin x = t, 0 ≤ t ≤ 1$ . Имеем:

2t2 + 2,5t − 3 = 0 ⇒ t1 = − 2;t2 = 3- 4

Заметим, что $t1$ не подходит. Сделаем обратную замену:

⌊ x = π-+ 2πn1,n1 ∈ ℤ | 3 √-- || 2π- 2 3- -3-- || x = 3 + 2πn2, n2 ∈ ℤ sin x = 4 ⇒ sinx = ± 2 ⇒ | π- || x = − 3 + 2 πm1, m1 ∈ ℤ ⌈ 2π x = − ---+ 2πm2, m2 ∈ ℤ 3

Заметим, что данные корни можно записать в виде двух формул: $π- π- x1 = 3 + πn, n ∈ ℤ; x2 = − 3 + πm, m ∈ ℤ$

б) Отберем корни:

$π π − --< x1 < π ⇒ n = 0 ⇒ x = -- 2 3$

$π- π- 2π- − 2 < x2 < π ⇒ m = 0;1 ⇒ x = − 3 ; 3$