Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

a) Решите уравнение $sin3x +0,5cos2x + sinx =1.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(− π;π).$

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перепишем исходное уравнение при помощи основного тригонометрического тождества:

sin3x+ 0,5− 0,5sin2x +sinx= 1 ⇔ sin3x − 0,5sin2x +sinx− 0,5 = 0.

Последнее уравнение является уравнением третьей степени относительно $sinx$ . Сделаем замену $sin x= t$ :

t3− 0,5t2+t− 0,5= 0 ⇔ t2(t−0,5)+(t−0,5)= 0 ⇔ (t2+1)(t− 0,5)= 0.

Так как $2 t + 1≥ 1> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1575-6.svg» width=»auto»> при любом <img decoding=$ , то полученное уравнение равносильно

t= 0,5,

откуда

sinx = 0,5.

Решения этого уравнения имеют вид $π x= 6-+ 2πk$ , $5π x= -6 + 2πk$ , где $k ∈ℤ$ .

б)

−π < π-+ 2πk < π ⇔ − 7π < 2πk < 5π ⇔ − 7-< k < 5-, 6 6 6 12 12

но $k ∈ℤ$ , тогда среди этих решений подходит только решение при $k = 0$ : $x = π- 6$ .

5π 11π- π- 11 -1 −π < 6 + 2πk < π ⇔ − 6 < 2πk < 6 ⇔ −12 < k < 12,

но $k ∈ℤ$ , тогда среди этих решений подходит только решение при $k = 0$ : $5π x = 6-$ .

Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению