Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №1

Просмотров 7 Комментарии 0

a) Решите уравнение $cos3 x+ 3cos2x +3 cosx +1 = 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;2π).$

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно $cosx$ . Сделаем замену $cosx =t$ :

t3+ 3t2+ 3t+ 1= 0.

Полученное уравнение равносильно

(t+ 1)3 = 0,

откуда $t= −1$ , следовательно,

cosx = −1.

Решения этого уравнения имеют вид $x = π+ 2πk$ , где $k ∈ℤ$ .

б)

1 1 0< π + 2πk < 2π ⇔ −π <2πk < π ⇔ − 2 < k < 2

Но $k ∈ ℤ,$ тогда среди этих решений подходит только решение при $k = 0 :$ $x = π.$