Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

a) Решите уравнение $sin (2x)+ cos(2x)+ 1= 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π).$

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулами для косинуса двойного угла и синуса двойного угла:

2sinx ⋅cosx +2cos2x− 1+ 1= 0. 2cosx ⋅(sinx+ cosx)= 0.

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, или $cosx= 0$ , или $sinx+ cosx= 0$ .

В случае $cosx= 0$ :
решениями будут $π x = 2 + πk$ , где $k ∈ ℤ$ .

В случае $sinx + cosx = 0$ :
равенство можно разделить на $cosx$ (так как если $cosx= 0$ является решением, то из этого равенства следует, что и $sinx = 0$ ; но тогда мы получаем противоречие с основным тригонометрическим тождеством: $2 2 0 + 0 = 1$ ).

После деления имеем: $tgx =− 1$ , откуда получаем $π x =− 4-+ πk$ , где $k ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ.

б)

0< π-+πk < π ⇔ − π-< πk < π ⇔ − 1 < k < 1, 2 2 2 2 2

но $k ∈ℤ$ , тогда на интервал $(0;π)$ попадает только корень при $k = 0$ : $x = π- 2$ .

π π π 1 1 0 <− 4-+πk < π ⇔ 4-< πk < π+ 4 ⇔ 4 < k <1 4,

но $k ∈ℤ$ , тогда на интервал $(0;π)$ попадает только корень при $k = 1$ : $x = 3π 4$ .

Тригонометрические: разложение на множители