Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

1 + sin2x = (sin 2x − cos2x )2

б) Найдите наименьший положительный корень данного уравнения.

а) Преобразуем уравнение:

1+sin 2x = sin22x − 2 sin 2x cos2x+cos2 2x ⇔ 1+sin 2x = 1 − 2 sin 2x cos2x ⇔ sin 2x(1+2 cos 2x) = 0

Данное уравнение имеет решение в том случае, если либо $sin2x = 0$ , либо $cos2x = − 1 2$ . В первом случае получаем серию корней $2x = πn$ , а во втором $2π 2x = ± 3 + 2πm, n,m ∈ ℤ$ , откуда:

π π x = 2-n или x = ± 3-+ πm, n,m ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$π- π- 2n > 0 ⇔ n > 0 ⇒ nmin = 1 ⇒ xmin = 2 » class=»math» width=»auto»> </p> <p class=$

$π-+ πm > 0 ⇔ m > − 1- ⇒ mmin = 0 ⇒ xmin = π- 3 3 3 » class=»math» width=»auto»> </p> <p class=$

$π 1 2π − --+ πm > 0 ⇔ m > — ⇒ mmin = 1 ⇒ xmin = — 3 3 3 » class=»math» width=»auto»> </p> <p class=$

Заметим, что среди найденных в каждой серии наименьших положительных корней самым меньшим является $π- 3$ .