Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

2 sin x ⋅ sin π-⋅ sin π-+ sin2x = 0 2 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(− 7π;− 5π ).$

а) Для табличных углов $π- 2$ и $π- 3$ известно, что $sin π = 1 2$ и $√ -- sin π-= --3- 3 2$ .

По формуле синуса двойного угла $sin2x = 2sinx cosx$ , следовательно

$√ -- ( √ --) 3 3 2sinx ⋅ 1 ⋅---+ 2 sin xcos x = 0 ⇔ sinx cosx + ---- = 0 ⇔ 2 2$

$⌊ sinx = 0 ⌊ x = πn, n ∈ ℤ | | ⇔ |⌈ √ -- ⇔ ⌈ 5π cos x = − --3- x = ± --- + 2πm, m ∈ ℤ 2 6$

б) Отберем корни.

$− 7 π < πn < − 5π ⇔ − 7 < n < − 5 ⇒ n = − 6.$ Следовательно, $x = − 6π.$

$5π- 47- 35- − 7 π < 6 + 2πm < − 5π ⇔ − 12 < m < − 12 ⇒ m = − 3.$ Следовательно, $31π- x = − 6 .$

$− 7 π < − 5π-+ 2πm < − 5π ⇔ − 37-< m < − 25- ⇒ m = − 3. 6 12 12$ Следовательно, $x = − 41π. 6$