Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

tg2x + sin 2x = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[− 3π;− 2π).$

а) Так как $sin 2x tg2x = ------ cos2x$ , то уравнение, сделав замену $2x = t$ , можно переписать в виде

$sin t sint + sintcos t sint ⋅ (1 + cos t) -----+ sint = 0 ⇔ ----------------= 0 ⇔ ----------------= 0 ⇔ cost cost cost$

$( [ ( [ |{ sint = 0 |||{ t = πn, n ∈ ℤ t = π + 2πm, m ∈ ℤ ⇔ | cos t = − 1 ⇔ | ( cos t ⁄= 0 ||( t ⁄= π-+ πk, k ∈ ℤ 2$ Для того, чтобы получить окончательный ответ, отметим решение для $t$ на окружности:

$PIC$

Видим, что серия $t = π + 2 πm$ входит в серию $t = πn$ . Следовательно, окончательный ответ

t = πn ⇒ x = π-⋅ n,n ∈ ℤ. 2

б) Отберем корни.

$− 3 π ≤ π-⋅ n < − 2π ⇔ − 6 ≤ n < − 4 ⇒ n = − 6; − 5. 2$ Следовательно, $x = − 3π; − 5π-. 2$