Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

√ -- √ -- 3 sin x + 3 3cos x = 3 + tgx

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ] − π-;π 2$ .

а) ОДЗ: $cosx ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ. Т.к. на ОДЗ $sin x cosx sinx = ----------= tgx cosx ⇒ cosx$

√ -- √ -- √-- 3cos xtgx + 3 3cos x − 3 − tgx = 0 ⇒ (tgx + 3 )(3 cosx − 1) = 0 ⇒

⌊ √ -- ⌊ π tgx = − 3 x = − --+ πn, n ∈ ℤ ⌈ 1 ⇒ |⌈ 3 cos x = -- x = ± arccos 1-+ 2πm, m ∈ ℤ 3 3

Т.к. по ОДЗ $π cos x ⁄= 0 ⇒ x ⁄= --+ πk,k ∈ ℤ 2$ , то полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

б) Отберем корни:

1) $π π 1 4 π 2π − -- < − --+ πn ≤ π ⇒ − --< n ≤ --⇒ n = 0;1 ⇒ x = − --;--- 2 3 6 3 3 3$

2) Обозначим $arccos 1-= α 3$ .

$π 1 α 1 α − --< α + 2 πm1 ≤ π ⇒ − --− ---< m1 ≤ --− --- 2 4 2π 2 2π$

Т.к. в первой четверти косинус убывает и $1- 1- 3 < 2$ , то $π- π- 1- α-- 1- 3 < α < 2 =⇒ − 4 < − 2π < − 6 ⇒$ можно условно сказать, что

$1- -α- − 4 − 2π = − 0, ...$ и $1- -α- 2 − 2π = 0,...$ . Значит, $1- m1 = 0 ⇒ x = α = arccos3$

3) $π 1 α 1 α − -- < − α + 2πm2 ≤ π ⇒ − --+ ---< m2 ≤ --+ --- 2 4 2π 2 2π$

Аналогично, $1- α-- − 4 + 2π = − 0,...$ и $1- α-- 2 + 2π = 0,...$ , следовательно, $1- m2 = 0 ⇒ x = − arccos 3$ .