Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

2 2-cos-x-−-1-−√sin4x- 2sin3x − 2 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 19π- 23π- 4 ; 4$ .

а) ОДЗ: $√ -- sin 3x ⁄= --2- 2$ . Решим на ОДЗ.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

2cos2 x − 1 − sin 4x = 0 ⇒ cos2x − sin 4x = 0 (т.к. по ф орм уле двой ного угла cos 2x = 2 cos2x − 1)

⌊ π π ⌊ x = --+ --n,n ∈ ℤ cos2x = 0 || 4 2 cos 2x − 2sin2x cos 2x = 0 ⇒ cos2x(1 − 2 sin 2x) = 0 ⇒ ⌈ ⇒ |x = π--+ πm, m ∈ ℤ sin 2x = 1- |⌈ 12 2 5π- x = 12 + πk, k ∈ ℤ

Решим ОДЗ: $√ -- 2 π 2 π 2 sin3x ⁄= ----⇒ x′ ⁄= ---+ -πp, p ∈ ℤ, x′′ ⁄= --+ -πl, l ∈ ℤ 2 12 3 4 3$

Пересечем полученные корни с ОДЗ. Для этого отметим все эти точки на окружности: корни уравнения — зеленые, а корни ОДЗ – красными.

$PIC$

Таким образом, итоговый ответ:

5π- x1 = 12 + 2πn, n ∈ ℤ 13π x2 = ----+ 2πm, m ∈ ℤ 12 x2 = 5π-+ 2πk, k ∈ ℤ 4 7π- x4 = 4 + 2πl,l ∈ ℤ

б) Отберем корни:

1) $19π- 23π- 13- 8- 4 ≤ x1 ≤ 4 ⇒ 6 ≤ n ≤ 3 ⇒ n ∈ ∅$

2) $19π-≤ x2 ≤ 23π-⇒ 11- ≤ m ≤ 7-⇒ m = 2 ⇒ x = 61-π 4 4 6 3 12$

3) $19π 23π 7 9 21π ----≤ x3 ≤ ----⇒ --≤ k ≤ --⇒ k = 2 ⇒ x = ---- 4 4 4 4 4$

4) $19π- 23π- 3- 23π- 4 ≤ x4 ≤ 4 ⇒ 2 ≤ l ≤ 2 ⇒ l = 2 ⇒ x = 4$