Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №27

Просмотров 7 Комментарии 0

а) Решите уравнение

cos2x ⋅ (tg2x + 1) =-------1------ cos2 x − sin2 x

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ π] 0; -- 2$ .

а) ОДЗ: $cos2x − sin2 x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ.

По формуле двойного угла для косинуса $cos2x − sin2x = cos2x$ , значит:

$1 cos2x(sin2x + cos2x) 1 cos2x (tg2x + 1) − ------= 0 ⇒ ----------------------− ------= 0 ⇒ cos2x cos2x cos2x$

${ ( [ cos2x sin 2x + cos2 2x − 1 cos2x sin 2x − sin22x = 0 |{ sin 2x = 0 --------------------------= 0 ⇒ ⇒ cos 2x − sin 2x = 0 ⇒ cos 2x cos2x ⁄= 0 |( cos2x ⁄= 0$

$( [ ( ⌊ |{ 2x = πn,n ∈ ℤ ||{ 2x = πn, n ∈ ℤ tg2x = 1 ⇒ ⌈ π- |( || 2x = 4 + πm, m ∈ ℤ cos2x ⁄= 0 ( cos 2x ⁄= 0$

Подставим полученный ответ для $2x$ в $cos 2x$ :
$cos(πn ) = ±1 ⁄= 0$ – значит ответ $π 2x = πn ⇒ x = --n,n ∈ ℤ 2$ нам подходит.

$√ -- ( π ) 2 cos --+ πm = ± ----⁄= 0 4 2$ – значит ответ $π π π 2x = --+ πm ⇒ x = --+ --m, m ∈ ℤ 4 8 2$ нам также подходит.

б) Отберем корни:

π π π 0 ≤ --n ≤ -- ⇒ 0 ≤ n ≤ 1 ⇒ n = 0;1 ⇒ x = 0; -- 2 2 2

π π π 1 3 π 0 ≤ --+ --m ≤ --⇒ − --≤ m ≤ --⇒ m = 0 ⇒ x = -- 8 2 2 4 4 8