Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №26

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $sin2 2x + sin4x + cos 4x = 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу $(− 1;0)$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулами двойного угла для синуса $sin2α = 2sinα cos α$ и косинуса $cos2α = cos2α − sin2α$ :

$2 2 2 2 sin 2x + 2 sin 2x cos2x + cos 2x − sin 2x = 0 ⇒ cos 2x + 2 sin 2x cos 2x = 0 ⇒$

$[ cos2x (cos2x + 2 sin 2x) = 0 ⇒ cos 2x = 0 ⇒ cos 2x + 2sin 2x = 0$

$⌊ ⌊ π π 2x = π-+ πn, n ∈ ℤ x1 = --+ --n,n ∈ ℤ ⌈ 2 ⇒ |⌈ 4 2 ctg2x = − 2 x2 = − 1-arcctg2 + πm, m ∈ ℤ 2 2$

б) Отберем корни:

1) $− 1 < x < 0 ⇒ − 2-− 1-< n < − 1- 1 π 2 2$ .

Т.к. $7 2 4 2 1 15 π π < --⇒ --> —⇒ − —− —< − ---⇒ n = − 1 ⇒ x = − -- 2 π 7 π 2 14 4$

2) Обозначим $arcctg2 = α$ , тогда $2- α- α- − 1 < x2 < 0 ⇒ − π + π < m < π$ .

Т.к. $3 < π < 4 ⇒ 1-< 1-< 1-⇒ − 2-< − 2- < − 1- 4 π 3 3 π 2$

Т.к. в первой четверти котангенс убывает и $2 > 1 » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding=$

Следовательно, $2- 2- α- 1- − 3 < − π + π < − 4$

Условно можно записать, что $1 − 0,...< m < 0,...⇒ m = 0 ⇒ x = − --arcctg2 2$