Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №25

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

sin-3x-+-sin-x-= 0 sin x − 1

б) Найдите наибольший отрицательный корень данного уравнения.

а) По формуле синуса тройного угла $sin 3x = 3 sin x − 4sin3x$ , следовательно:

3 2 4sin-x −-4sin-x- 4-sin-x(1 −-sin--x) sin-x(1 −-sin-x)(1 +-sin-x) sin x − 1 = 0 ⇔ sinx − 1 = 0 ⇔ sin x − 1 = 0

Данное уравнение равносильно системе:

( ⌊ |{ sinx ⁄= 1 x = πm, m ∈ ℤ [ sin x = 0 ⇔ | |( ⌈ π- sin x = − 1 x = − 2 + 2πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$πm < 0 ⇔ m < 0 ⇒ mmax = − 1 ⇒ xmax = − π$

$− π-+ 2πn < 0 ⇔ n < 1- ⇒ nmax = 0 ⇒ xmax = − π- 2 4 2$

Заметим, что среди найденных в каждой серии наибольших отрицательных корней самым большим является $π − -- 2$ .