Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №23

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение $( ) sin π-+x +sin2x= 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( 5π] 0;2 .$

а) По формуле приведения и формуле синуса двойного угла имеем:

cosx+ 2sin xcosx= 0 ⇔ cosx(1 + 2sinx)= 0 ⇔

⌊ π- ⌊ 1 |x = −6 + 2πn,n ∈ ℤ ⇔ ⌈sin x= −2 ⇔ ||x = − 5π + 2πk,k ∈ℤ cosx= 0 |⌈ 6 x = π-+πm, m ∈ℤ 2

б) Отберем корни:

$π 5π 1 4 0< − 6 + 2πn ≤ 2 ⇔ 12 < n≤ 3 ⇒ n= 1$ . Следовательно, $11π x = 6 .$

$0< − 5π+ 2πk ≤ 5π- ⇔ -5 < k ≤ 5 ⇒ k = 1 6 2 12 3$ . Следовательно, $x = 7π. 6$

$0< π-+ πm ≤ 5π ⇔ − 1 <m ≤2 ⇒ m =0; 1; 2 2 2 2$ . Следовательно, $π- 3π 5π- x = 2; 2 ; 2 .$