Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №22

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

sin x+ tg x= sin-2x- cosx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( π π) −2-;2-.$

а) Так как $sin-x tgx = cosx$ и $sin2x= 2sinxcosx,$ то уравнение можно переписать в виде

sinx + sinx-− 2sin-xcosx= 0 ⇔ sinxcosx+-sin-x−-2sinx-cosx-= 0 ⇔ cosx cosx cosx([ ([sinx= 0 || x = πn,n∈ ℤ ⇐ sinx(1−-cosx) = 0 ⇔ { cosx =1 ⇔ { x = 2πm,m ∈ ℤ cosx (cosx⁄= 0 ||( π- x ⁄= 2 +πk,k ∈ℤ

Для того, чтобы получить окончательный ответ, отметим решение на окружности:

$PIC$

Видим, что серия $x= 2πm$ входит в серию $x = πn.$ Следовательно, окончательный ответ

x= πn,n∈ ℤ

б) Отберем корни c помощью неравенств.

π- π- 1 1 − 2 < πn < 2 ⇔ − 2 < n< 2 ⇒ n= 0

Следовательно, $x =0.$