Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №20

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $5sinx + 3 sin2 x = 0$ .

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(− 7;0 )$ .

а) Вынесем множитель $sinx$ за скобки:

⌊ [ sinx = 0 sin x = 0 | sin x ⋅ (5 + 3sinx ) = 0 ⇒ 5 + 3sin x = 0 ⇒ ⌈ 5 sinx = − -- 3

Заметим, что т.к. область значений синуса – это отрезок $[− 1;1]$ , то второе уравнение решений не имеет. Следовательно, решением данной совокупности является решение первого уравнения:

sin x = 0 ⇒ x = πn,n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

7 − 7 < πn < 0 ⇒ − -- < n < 0 π

Т.к. $2π < 7 < 3π$ , то $3π 7 2π − -π- < − π-< − π--$ , что равносильно $7 − 3 < − π-< − 2$ .

Таким образом, целые $n$ , принадлежащие полученному промежутку, это $n = − 2;− 1$ . При этих значениях $n$ получаем корни $x = − 2π; − π$ .