Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

a) Решите уравнение

------cosx------- -----sin(2x-)----- 1 − sin2 x − cosx = 1 − sin2 x − cosx

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку ( ) 3π- − 2π;− 2 .

ОДЗ: 1 − sin2x − cos x ⁄= 0 . Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

cosx − sin(2x) ------2----------= 0 1 − sin x − cosx

Воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

cosx(1-−-2-sin-x)-= 0 1 − sin2 x − cosx

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: или cos x = 0 , или sin x = 0,5 .

 

Рассмотрим ОДЗ: 2 1 − sin x − cosx ⁄= 0 ,
что в силу основного тригонометрического тождества равносильно cos2 x − cosx ⁄= 0 , что равносильно cosx(cos x − 1) ⁄= 0 , что равносильно системе

{ cosx ⁄= 0 cosx ⁄= 1.

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:
 

 

Таким образом, решениями будут arcsin0,5 + 2πk , k ∈ ℤ и π − arcsin0, 5 + 2 πk , k ∈ ℤ , то есть

π- 5-π x = 6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 6 + 2πk, k ∈ ℤ.

 

б)

π 3π 13π 10π 13 10 − 2π < 6-+ 2πk < − -2- ⇔ − -6--< 2πk < − -6-- ⇔ − 12- < k < − 12-,
но k ∈ ℤ , тогда на интервал ( 3π) − 2π;− --- 2 попадает только решение при k = − 1 : 11π x = − ---- 6 .

5π- 3π- 17π- 14π- 17- 14- − 2π < 6 + 2πk < − 2 ⇔ − 6 < 2πk < − 6 ⇔ − 12 < k < − 12,
но k ∈ ℤ , следовательно, решения вида x = 5π-+ 2πk 6 , k ∈ ℤ на интервал ( − 2π;− 3π-) 2 не попадают.

Тригонометрические: разложение на множители
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!