Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №18

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

sin x + sin3x + cos x = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − 3π;π 2$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу суммы синусов: $α-+-β- α-−-β- sinα + sin β = 2 sin 2 cos 2$ и получим:

⌊ π ⌊ x1 = --+ πn,n ∈ ℤ cosx = 0 || 2 2sin2x cos x + cosx = 0 ⇒ cosx (2 sin 2x + 1) = 0 ⇒ ⌈ ⇒ | x2 = − -π-+ πm, m ∈ ℤ sin 2x = − 1- |⌈ 12 2 5π- x3 = − 12 + πk,k ∈ ℤ

б) Отберем корни по окружности:

$PIC$

Отметим дугу, соответствующую промежутку $( ) 3π − ---;π 2$ : она отмечена голубым цветом (причем концы дуги выколоты). Таким образом, мы по одному разу проходимся по $I,III, IV$ четвертям и два раза по $II$ четверти.

Углы, попадающие на эту дугу:

7π 11π π 5π π π 7π 11π ---− 2π; ----− 2π; − --; − --; − ---; -; ---; ---- 12 12 2 12 12 2 12 12