Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №17

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $sin xsin2x = cosx.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( 11π] − 7π;− -2-$ .

а) Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin2x= 2sinxcosx:$

[ 2 2 cosx = 0 2sin x cosx − cosx =0 ⇔ cosx(2sin x − 1) =0 ⇔ 2sin2x− 1= 0

По формуле косинуса двойного угла имеем:

2 2 cos2x = 1− 2sin x⇒ 2sin x − 1 = − cos2x

Тогда получаем совокупность

[ ⌊ π- cosx = 0 ⇒ ⌈x1 = 2 + πn,n∈ ℤ − cos2x = 0 x2 = π-+ πm, m ∈ℤ 4 2

б) Отберем корни с помощью неравенств:

− 7π < x1 ≤ − 11π-⇒ − 7,5 <n ≤ −6 ⇒ n = −7;−6 2

Отсюда получаем $x= − 13π;− 11π. 2 2$

11π − 7π < x2 ≤ −-2-⇒ −14,5 <m ≤ − 11,5 ⇒ m = −14;−13;−12

Отсюда получаем $x= − 27π;− 25π;− 23π-. 4 4 4$