Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №16

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

√-- √ -- √ --- πctgx + 3sinx − cos x = 3π

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] − π; π- 2$ .

а) ОДЗ: $sin x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ. Т.к. на ОДЗ $cosx sin x cosx = ----------= ctgx sinx ⇒ sinx$

$√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ --√ -- πctgx − sin xctgx + 3 sin x − 3 ⋅ π = 0 ⇒ ctgx ( π − sin x) − 3( π − sin x) = 0 ⇒$

$[ √ -- √ -- √ -- sinx = π ( π − sin x)(ctgx − 3) = 0 ⇒ ctgx = √3--$

Т.к. $√ -- √-- π > 3 ⇒ π > 3 > 1 ⇒ » class=»math» width=»auto»> уравнение <img decoding=$ не имеет решений. Значит, решением исходного уравнения будет:

√ -- ctgx = 3 ⇒ x = π-+ πn,n ∈ ℤ 6

б) Отберем корни:

− π ≤ π-+ πn ≤ π- ⇒ − 7-≤ n ≤ 1-⇒ n = − 1;0 ⇒ x = − 5π; π- 6 2 6 3 6 6