Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №15

Просмотров 6 Комментарии 0

a) Решите уравнение

sin(2x) − 2√3--cos2x − 4sin x + 4√3-cos x = 0.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ 5π ] π; --- 2$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное.
По формуле синуса двойного угла:

-- -- 2sinx ⋅ cos x − 2√ 3cos2 x − 4sinx + 4√ 3 cosx = 0.

Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

√-- √ -- 2 sin x(cos x − 2) − 2 3 cosx (cos x − 2) = 0 ⇔ (cos x − 2)(sin x − 3cos x) = 0.

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл:

-- cosx = 2 и ли sin x − √ 3 cosx = 0.

Так как $− 1 ≤ cosx ≤ 1$ , то $cosx = 2$ не подходит.

√ -- sinx − 3 cosx = 0.

Так как те $x$ , при которых $cosx = 0$ не могут быть решениями, то на $cosx$ можно разделить:

√ -- tgx = 3.

Решения уравнения $tgx = a$ имеют вид $x = arctga + πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно, решения уравнения $√ -- tgx = 3$ имеют вид $π x = 3-+ πk,k ∈ ℤ$ .

б)

π- 5π- 2- 13- π ≤ 3 + πk ≤ 2 ⇔ 3 ≤ k ≤ 6 ,

но $k ∈ ℤ$ , тогда подходят $x$ при $k = 1$ и $k = 2$ : $x = 4π- 3$ и $x = 7π- 3$ .

Тригонометрические: разложение на множители