Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №14

Просмотров 5 Комментарии 0

a) Решите уравнение

cos(2x)- 3sin x + sinx = − 2

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[− π;π ]$ .

ОДЗ: $sin x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

3 sin2 x + cos(2x) + 2sinx --------------------------= 0 sin x

Так как $cos(2x) = 1 − 2 sin2 x$ , то последнее уравнение можно переписать в виде

2 sin-x-+-2-sin-x +-1 = 0 sin x

Используя формулу для квадрата суммы, получим, что уравнение эквивалентно уравнению

(sinx-+--1)2 sin x = 0

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: $sin x = − 1$ .

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:

Таким образом, решениями будут

x = − π-+ 2πk, k ∈ ℤ. 2

б)

π π 3π 1 3 − π ≤ − --+ 2πk ≤ π ⇔ − --≤ 2πk ≤ --- ⇔ − --≤ k ≤ --, 2 2 2 4 4

но $k ∈ ℤ$ , тогда на отрезок $[− π; π]$ попадает только решение при $k = 0$ , то есть $π- x = − 2$ .