Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №13

Просмотров 5 Комментарии 0

a) Решите уравнение $2( 3π ) √- 2sin 2 + x = 3cosx.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 7π − 2 ;− 2π .$

По формулам приведения можно преобразовать исходное уравнение к виду

2 √ - 2(− cosx) = 3cosx 2cos2x = √3cosx ( √ -) cosx cosx− --3 = 0 2

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Тогда $cosx= 0$ или $√- cosx = -3. 2$

Решения уравнения $cosx = 0$ имеют вид $x= π-+ πk 2$ , где $k ∈ℤ.$

Решения уравнения $cosx = a$ имеют вид $x= ±arccosa +2πk,$ где $k ∈ ℤ.$

Следовательно, решения уравнения $√3 cosx = -2-$ имеют вид $π x = ±6-+ 2πk,k ∈ ℤ.$

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

7π π- − 2 ≤ 2 + πk ≤ − 2π ⇔ −4 ≤k ≤ −2,5

Так как $k ∈ℤ,$ то подходят значения $x$ при $k =− 4$ и $k =− 3:$ $7π x = −-2$ и $5π x= − 2-.$

− 7π≤ π-+ 2πn≤ − 2π ⇔ − 11 ≤ n≤ − 13 2 6 6 12

Так как $n ∈ℤ,$ то среди этих $x$ подходящих нет.

− 7π ≤ − π-+ 2πn ≤ −2π ⇔ − 10 ≤n ≤ − 11 2 6 6 12

Так как $n ∈ℤ,$ то подходит значение $x$ при $n = −1:$ $x= − 13π . 6$

Тригонометрические: разложение на множители