Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №11

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

sin5x ⋅ cos 2x = sin3x

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку $[2014π; 2015π ].$

(Задача от подписчиков)

а) Представим $sin 3x = sin (5x − 2x) = sin5x cos2x − sin 2xcos 5x$ , тогда уравнение перепишется в виде:

sin 5x ⋅ cos2x = sin 5x ⋅ cos2x − sin2x ⋅ cos 5x ⇔ sin2x ⋅ cos 5x = 0 ⇔

⌊ ⌊ π 2x = πn, n ∈ ℤ x = -n,n ∈ ℤ ⇔ ⌈ ⇔ | 2 5x = π-+ πm, m ∈ ℤ ⌈ π-- π- 2 x = 10 + 5 m, m ∈ ℤ

б) Отберем корни. $π 2014 π ≤ --n ≤ 2015 π ⇔ 4028 ≤ n ≤ 4030 ⇒ n = 4028; 4029; 4030 ⇒ 2 ⇒ x = 2014 π; 2014,5π; 2015 π. -π- π- 2014 π ≤ 10 + 5m ≤ 2015 π ⇔ 10069, 5 ≤ m ≤ 10074,5 ⇒ ⇒ m = 10070; 10071; 10072; 10073; 10074 ⇒ ⇒ x = 2014, 1π; 2014,3π; 2014,5π; 2014, 7π; 2014,9 π.$