Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $2sin(π+ x)⋅sin( π+ x) = sinx. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

а) По формулам приведения $sin(π +x) =− sin x, sin( π+ x) = cosx 2$ . Тогда уравнение примет вид

⌊ |sin x= 0 −2sin xcosx= sinx ⇔ sinx(1+ 2cosx)= 0 ⇔ ⌈ 1 cosx= − 2

Корнями уравнений будут являться $x= πn$ и $2π x= ± 3-+ 2πk$ , $n,k ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни. $2π ≤ πn≤ 7π ⇔ 2≤ n ≤3,5 ⇒ n = 2;3 ⇒ x = 2π;3π 2$ $2π 7π 2 17 8π 2π ≤ 3-+ 2πk ≤ 2- ⇔ 3 ≤ k ≤ 12 ⇒ k = 1 ⇒ x= -3$ $7π 4 25 10π 2π ≤ − 2π3-+ 2πk ≤-2 ⇔ 3 ≤ k ≤ 12 ⇒ k = 2 ⇒ x = -3-$