Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

a) Решите уравнение

sin(2x) + sin x = 2 cosx + 1.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 3π − π; --- 2$ .

ОДЗ: $x$ – произвольное.
По формуле синуса двойного угла:

2sinx ⋅ cosx + sin x − 2cos x − 1 = 0.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

sinx(2 cosx + 1) − (2cos x + 1) = 0 ⇔ (sinx − 1 )(2 cosx + 1) = 0.

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл:
$sin x − 1 = 0$ или $2cos x + 1 = 0$ .

Решениями уравнения $sin x = 1$ являются $x = π-+ 2πk, k ∈ ℤ 2$ .

Решения уравнения $cosx = a$ имеют вид: $x = ±arccosa + 2πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно, решения уравнения $cos x = − 1- 2$ имеют вид $x = ± 2π-+ 2πk, k ∈ ℤ 3$ .

б)

− π ≤ π- + 2πk ≤ 3π- ⇔ − 3-≤ k ≤ 1, 2 2 4 2

но $k ∈ ℤ$ , тогда подходит $x$ при $k = 0$ : $x = π- 2$ .

− π ≤ 2π-+ 2πn ≤ 3π- ⇔ − 5-≤ n ≤ -5-, 3 2 6 12

но $k ∈ ℤ$ , тогда подходит $x$ при $n = 0$ : $2π x = --- 3$ .

2π- 3π- 1- 13- − π ≤ − 3 + 2πn ≤ 2 ⇔ − 6 ≤ n ≤ 12,

но $k ∈ ℤ$ , тогда подходят $x$ при $n = 0$ и $n = 1$ : $x = − 2π- 3$ , $x = 4π- 3$ .

Тригонометрические: разложение на множители