Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №9

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение

16cosx + 16cos(π−x) = 17- 4

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π; 5π- 2$ .

а) По формулам приведения $cos(π − x) = − cos x$ . Следовательно, уравнение можно свести к виду

cosx − cosx 17- 16 + 16 = 4

Сделаем замену $cosx 16 = t$ , $t > 0 » class=»math» width=»auto»>. Тогда <center class=$

1 17 t +--= --- t 4

Можно умножить обе части уравнения на $4t$ (так как $t ⁄= 0$ ):

4t2 − 17t + 4 = 0

По теореме Виета корнями уравнения будут $t = 4$ и $1 t = -- 4$ . Следовательно,

⌊ ⌊ ⌊ π 16cosx = 4 cosx = 1- x = ± --+ 2πn, n ∈ ℤ | || 2 || 3 ⌈ 1 ⇔ ⌈ ⇔ ⌈ 16cosx = -- cosx = − 1- x = ± 2π-+ 2πm, m ∈ ℤ 4 2 3

б) Отберем корни. $π 5 π 1 13 7π π ≤ --+ 2πn ≤ --- ⇔ --≤ n ≤ --- ⇒ n = 1 ⇒ x = --- 3 2 3 12 3$ $π ≤ − π-+ 2πn ≤ 5π- ⇔ 2-≤ n ≤ 17- ⇒ n = 1 ⇒ x = 5π- 3 2 3 12 3$ $π ≤ 2π-+ 2πm ≤ 5π- ⇔ 1-≤ m ≤ 11- ⇒ m ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅ 3 2 6 12$ $π ≤ − 2π-+ 2πm ≤ 5π- ⇔ 5-≤ m ≤ 19- ⇒ m = 1 ⇒ x = 4π- 3 2 6 12 3$