Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

10sinx = 2sin x ⋅ 5− cosx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π-;− π 2$ .

а) Так как $10 = 2 ⋅ 5$ , а $(ab)n = an ⋅ bn$ , то уравнение равносильно

⌊ ( ) 2sinx = 0 5sinx ⋅ 2sinx = 2sin x ⋅ 5− cosx ⇔ 2sinx ⋅ 5sinx − 5− cosx = 0 ⇔ ⌈ 5sinx = 5− cosx

Первое уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна, следовательно, $2sin x > 0 » class=»math» width=»auto»> при любых <img decoding=$ . Значит:

5sin x = 5− cosx ⇔ sin x = − cos x

Получили однородное уравнение первой степени, которое решается делением на синус или косинус обеих частей уравнения. Разделим обе части равенства на $cosx$ :

π tgx = − 1 ⇔ x = − --+ πn, n ∈ ℤ 4

б) Отберем корни. $5π- π- 9- 3- 9π- 5π- − 2 ≤ − 4 + πn ≤ − π ⇔ − 4 ≤ n ≤ − 4 ⇒ n = − 2;− 1 ⇒ x = − 4 ;− 4$