Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №4

Просмотров 7 Комментарии 0

а) Решите уравнение $log√2(sinx) ⋅log√2(− cosx)+log√2(− sinx cosx)+ 1 =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − π;2π . 2$

а) Так как $loga(bc)= loga b+logac,$ если выполнено ОДЗ, то на ОДЗ: $sinx > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1109-2.svg» width=»auto»> и <img decoding=$ имеем:

log√2(sin x)⋅log√2(− cosx)+ log√2(sinx)+ log√2(− cosx)+ 1= 0

Сделаем замену

√- √- log 2(sin x)= b, log 2(− cosx)= c

Тогда уравнение принимает вид

bc+ b+ c+ 1= 0 b(c+ 1)+ c+ 1= 0 (b+ 1)(c+ 1)= 0

Следовательно, или $b= −1,$ или $c= −1.$

Пусть $b =− 1.$ Сделаем обратную замену:

- log√2(sin x)=√−1 sin x= √1-= --2 2 2 ⌊x = π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 4 x = 3π +2πk, k ∈ℤ 4

Решение $x = π-+2πk 4$ не подходит по ОДЗ, так как эти углы лежат в первой четверти, а в ней cosx> 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1109-12.svg» width=»auto»> следовательно, </p>
<div class= $3π x = 4-+ 2πk, k ∈ ℤ$

Пусть $c =− 1.$ Сделаем обратную замену:

c = −1 log√2(− cosx)= −1 √- cosx= − -2- 3π 2 x = ±-4 + 2πk, k ∈ ℤ

Решение $3π x = −-4 + 2πk$ не подходит по ОДЗ, так как эти углы лежат в третьей четверти, а в ней $sinx < 0,$ следовательно,

x = 3π+ 2πk, k ∈ ℤ 4

Заметим, что в обоих случаях итоговые серии корней совпадают, то есть ответом будет серия

x = 3π+ 2πk, k ∈ ℤ 4

б) Отберем корни с помощью неравенств:

− π-≤ 3π +2πk ≤ 2π 2 4 − 5π ≤2πk ≤ 5π 4 5 54 − 8 ≤k ≤ 8 k =0 x = 3π 4

Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа