Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №3

Просмотров 8 Комментарии 0

а) Решите уравнение

20cosx = 4cosx ⋅ 5− sinx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 9π-;− 3π . 2$

а) Так как $(ab)x = ax ⋅ bx$ , то уравнение можно переписать в виде:

( ) 4cosx ⋅ 5cosx − 4cosx ⋅ 5− sinx = 0 ⇔ 4cosx ⋅ 5cosx − 5− sin x = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. $4cosx > 0 » class=»math» width=»auto»> по свойству показательной функции, следовательно, уравнение равносильно: <center class=$

5cosx = 5− sin x ⇔ cosx = − sin x

Данное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на $sin x$ или $cos x$ . Разделим на $cosx$ :

π 1 = − tgx ⇔ tgx = − 1 ⇔ x = − --+ πn, n ∈ ℤ 4

б) Отберем корни.

$9π π 17 11 17π 13π − ---≤ − --+ πn ≤ − 3π ⇔ − ---≤ n ≤ − --- ⇒ n = − 4;− 3 ⇒ x = − ---; − ---- 2 4 4 4 4 4$