Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №25

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $2log24(4sinx)− 5log4(4sin x)+ 2= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 3π;0 . 2$

а) Сделаем замену $log4(4sin x)= t$ , тогда уравнение примет вид:

2 1 2t− 5t+ 2= 0 ⇒ t1 = 2; t2 = 2

Сделаем обратную замену:

1) $log(4sin x)= 2 ⇒ 4sin x= 42 4$ – удовлетворяет ОДЗ логарифма 4sinx> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2521-4.svg» width=»auto»>.<br class= Полученное уравнение равносильно $sin x= 4$ , что в свою очередь не имеет решений.

2) $1 log4(4sin x)= 12 ⇒ 4sinx= 42$ – также удовлетворяет ОДЗ.
Полученное уравнение равносильно $sin x= 12$ , решением которого будут $x = π-+2πn 6$ и $x= 5π + 2πm 6$ , $n,m ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни. 1) $− 3π ≤ π+ 2πn ≤0 ⇔ − 5 ≤ n≤ − 1 ⇒ n∈ ∅ ⇒ x∈ ∅ 2 6 6 12$ 2) $3π 5π 7 5 7π − -2 ≤ 6- +2πm ≤ 0 ⇔ − 6 ≤ m ≤ − 12 ⇒ m = −1 ⇒ x = −-6$