Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №24

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

( ) √- 16sinx cosx = 4 3sinx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 9π- 3π; 2 .$

а) Так как $(ax)y = axy$ , то данное уравнение равносильно:

√ - √ - 16sin xcosx = 4 3sinx ⇔ 42sinx cosx = 4 3sinx

Таким образом, уравнение приняло вид $4x = 4y$ , что равносильно $x = y$ . Таким образом:

⌊ sinx = 0 √ -- √ -- | √ -- 2 sin x cosx = 3 sin x ⇔ sinx (2 cosx − 3) = 0 ⇔ ⌈ 3 cos x = ---- 2

Первое уравнение совокупности имеет решения $x = πn, n ∈ ℤ$ .
Второе: $x = ± π-+ 2 πk,k ∈ ℤ 6$ .

б) Отберем корни. 1) $9π 3π ≤ πn ≤ --- ⇒ n = 3;4 ⇒ x = 3π;4π 2$ 2) $π 9π 17 13 25π 3π ≤ --+ 2πk ≤ --- ⇔ ---≤ k ≤ --- ⇒ k = 2 ⇒ x = ---- 6 2 12 6 6$ 3) $π 9π 19 7 23 π 3π ≤ − --+ 2πk ≤ --- ⇔ ---≤ k ≤ -- ⇒ k = 2 ⇒ x = ---- 6 2 12 3 6$