Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №22

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $2sin2x +2cos2x =3.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 5π ] −-2 ;− π .$

а) По основному тригонометрическому тождеству имеем:

2 2 cos x= 1− sin x

Тогда уравнение можно переписать в виде

sin2x 1−sin2x 2 + 2 =3 2sin2x+ 2⋅2− sin2x = 3

Сделаем замену

sin2x − sin2x 1 2 =t, 2 = t

Заметим также, что t> 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2388-4.svg» width=»auto»> Тогда имеем: </p>
<div class= $pict$

Здесь умножили обе части уравнения на $t,$ так как $t⁄= 0.$

По теореме Виета корнями данного уравнения являются числа 2 и 1. Сделаем обратную замену:

⌊2sin2x = 1 ⌈ 2 2sinx = 2

Решим первое уравнение:

2sin2x = 1 2 sin x= 0 x= πk, k ∈ℤ

Решим второе уравнение:

2sin2x = 2 sin2x= 1 sin x= ±1 x= π+ πk, k ∈ℤ 2

б) Отберем корни с помощью неравенств.

Из первой серии получаем

− 5π ≤ πk ≤ − π 2 − 2,5 ≤k ≤ −1 k = −2; −1 x= − 2π; −π

Из второй серии получаем

− 5π ≤ π-+ πk ≤ −π 2 2 − 3≤ k ≤ − 1,5 k = −3; −2 5π 3π x =− 2 ; − 2