Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №21

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

9sinx + 9sin(x+π) = 10- 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π-;− 2π 2$ .

а) Так как по формуле приведения $sin(x + π ) = − sin x$ , то после замены $9 sinx = t,t > 0 » class=»math» width=»auto»> уравнение примет вид </p> <p> <center class=$ $1- 10- t + t = 3$ Корнями этого уравнения будут $t = 3; 1 3$ . Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ 9sinx = 3 sin x = 1- | | 2 ⌈ ⇔ |⌈ 9sinx = 1- 1- 3 sin x = − 2

Решениями данной совокупности будут $x1 = ± π-+ 2πk,k ∈ ℤ 6$ и $x2 = ± 5π- + 2πn, n ∈ ℤ 6$ .

б) Отберем корни. $7π π 11 13 − ---≤ --+ 2 πk ≤ − 2π ⇔ − ---≤ k ≤ − --- ⇒ k ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅ 2 6 6 12$ $7π π 5 11 13π − --- ≤ − --+ 2πk ≤ − 2π ⇔ − --≤ k ≤ − --- ⇒ k = − 1 ⇒ x = − ---- 2 6 3 12 6$ $7π 5π 13 17 19π − --- ≤ ---+ 2πn ≤ − 2π ⇔ − ---≤ n ≤ − --- ⇒ n = − 2 ⇒ x = − ---- 2 6 6 12 2$ $7π 5π 4 7 17 π − --- ≤ − ---+ 2 πn ≤ − 2π ⇔ − --≤ n ≤ − --- ⇒ n = − 1 ⇒ x = − ---- 2 6 3 12 6$